FACTORIZACIÓN

Bienvenidos, en esta entrada se hará la introducción a un tema práctico de aplicación en en resto de las matemáticas del bachillerato y en gran parte de las matemáticas universitarias.

En esta ocasión, la la entrada ha incorporado algunas estrategias nuevas, por lo que se pide al lector que revise todo lo escrito hasta el final de la publicación. Se han implementado mejoras y  a los representantes se les ha dejado una nota especial al final de la entrada.

PRESENTACIÓN DEL TEMA

Comencemos por responder algunas interrogantes básicas...

¿Qué son lo factores?

Los "factores" son cada uno de los términos que se multiplican para formar un producto.

Ejemplo:

en la expresión  

Se observa que los valores que se están multiplicando (4 y 5) son los factores, y el resultado de su multiplicación (20) es el producto.

Ejemplos con números:

• 10 x 7 = 70 (donde los factores son: 10 y 7)
• 5 x 6 x 3 = 90 (donde los factores son: 5, 6 y 3) 
• 4 . 6 = 24 (factores: 4 y 6)
• (8)(6) = 48 (factores: 8 y 6)
• (9)(-3) = -27 (Factores: 9 y -3)
• (3)(-5)(2) = -30 (factores: 3, -5 y 2)

Como pueden observar, han variado los signos utilizados para expresar una multiplicación, usando el punto ".", la equis "x" o los paréntesis "()". En los libros de matemática conseguirán explicaciones usando cualquiera de estas opciones, por lo que es conveniente aprenderlas todas.

Nota: los factores también pueden ser letras (como X, Y, Z, a, b, c, entre otras), y la expresión matemática conservaría la misma lógica explicada anteriormente. (Lo estudiaron en el tema Polinomios Parte II).

Ejemplos con letras:

También es posible formar factores combinando letras diferentes:

Ejemplos con varias letras:

 

¿Qué es la factorización?

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. (Tomado de Wikipedia)

En palabras más simples, factorizar es convertir una expresión algebraica en una multiplicación, por lo tanto, el resultado de factorizar siempre sera un producto.

Ejemplo de factorización (No corresponde en este momento su desarrollo, sólo observar el resultado)

Comentarios en audio:

¿Para qué sirve la factorización?

Nos sirve cuando tenemos una expresión y queremos convertirla en una multiplicación, pero te podrías preguntar y ¿para qué querría hacer eso?, pues la respuesta es que en procedimientos matemáticos más avanzados, se requiere factorizar para hallar las respuestas de un ejercicio, analizar la forma y el comportamiento de una gráfica, hacer más simple una expresión compleja, entre otros usos. He ahí su importancia.

Si quieres ilustrar esta explicación, puedes mirar el siguiente video de youtube en el que se muestra un ejemplo del uso de la factorización.

Tomado de Matemáticas Profe Alex

Último detalle:

Antes de entrar de lleno al tema, necesitarás tener frescos los conocimientos de multiplicación y división de monomios, estudiados en el tema anterior, esto será la clave para facilitar la comprensión de los procedimientos para resolver cada caso de factorización.

TEORÍA Y EJEMPLOS

El propósito es que conozcas algunas  técnicas para factorizar, y puedas comprobar su aplicación en diferentes situaciones. Por un tema de tiempo, veremos en esta entrada los primeros casos y con esto empezarás a dominar la técnica de la factorización. 

La estrategia de trabajo para abordar cada caso será la siguiente:

1. Explicar el procedimiento concreto
2. Mostrar un ejemplo detallado
3. Mostrar un segundo ejemplo
4. Mostrar dos ejercicios para que practiques al momento la técnica y la afiances 

 

CASO 1: FACTOR COMÚN

Procedimiento:

1. Se identifica el factor común.
2. Se divide cada término del polinomio por el factor común.
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo).

Comentario: el factor común es un elemento que puede ser una letra, un número, número que multiplica a una letra o a varias letras .

Ejemplo 1

Factorizar la expresión 

Al observar la expresión, se puede detectar que posee dos términos (es un binomio), y en cada término está presente en valor "a".

Esto nos indica que "a" es un "factor común". (Paso 1)

Entonces procedemos a  dividir cada término entre el factor común. (Paso 2)

Así que, la expresión original se puede transformar de esta manera

(Paso 3)

Con esto está resuelta la factorización.

Existe una manera de comprobar la respuesta, y es la siguiente:

se devuelve el procedimiento, desarrollando la multiplicación a(a + b), así:

(Devolviendo la expresión original)

Ejemplo 2

Factorizar la expresión

Nuevamente observamos que la expresión es un binomio, y en cada término está presente en valor "b".

Esto nos indica que "b" es el "factor común". (Paso 1)

Entonces procedemos a  dividir cada término entre el factor común. (Paso 2)

Así que, la expresión original se puede transformar de esta manera

Y está resuelta la factorización.

La comprobación es la siguiente:

Ejercicios

Luego de estudiar los dos ejemplos anteriores, intenta resolver por tu cuenta los siguientes ejercicios de factor común:

Factorizar las siguientes expresiones

Una vez que hayas trabajado con los dos ejercicios o si has tenido dudas con los ejemplos y la resolución de los ejercicios, puedes mirar el siguiente video:

Creado por José Beltrán (algebra.jcbmat.com) 

CASO 2: AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Procedimiento:

1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis
2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis
3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis).

Comentario: En este caso el estudiante debe saber que la resolución se efectúa en dos etapas.

Ejemplo 1

Factorizar la expresión 

Al observar la expresión, se puede detectar que posee 4 términos. Esto es característico en muchos ejercicios del caso 2 (agrupación de términos)

Ahora, utilizando paréntesis, juntaremos los términos en dos grupos de dos términos, cuidando el detalle de que en cada grupo se observe al menos un factor común. (Paso 1)

Luego, se extrae el factor común en cada agrupación, así 

(Paso 2)

Observa que dentro de los paréntesis ha quedado una expresión similar (a + b), lo que nos lleva a deducir que ese se puede volver también un “factor común”, y éste multiplicaría tanto a la “a”  como a la “x”, resultando así

(Paso 3)

Con esto está resuelta la factorización.

Comprobación:

Se desarrolla el producto (propiedad distributiva)

y esta expresión es similar a la original.

Nota: 

Puedes observar un video con la resolución del ejercicio aquí

Creado por Juan Beltrán (algebra.jcbmat.com) 

Ejemplo 2

Factorizar la expresión 

Nuevamente observamos  que posee 4 términos. 

Ahora, utilizando paréntesis, juntaremos los términos en dos grupos de dos términos, cuidando el detalle de que en cada grupo se observe al menos un factor común. (Paso 1)

Luego, se extrae el factor común en cada agrupación, así 

(Paso 2)

De nuevo observa que dentro de los paréntesis ha quedado una expresión similar    (a - b), lo que nos lleva a deducir que ese se puede volver también un “factor común”, y éste multiplicaría tanto a la “m”  como a la “n”, resultando así

(Paso 3)

Con esto está resuelta la factorización.

Comprobación:

Se desarrolla el producto (propiedad distributiva)

Que reordenando quedaría así:

(Esta es la expresión original)

Puedes ver el video con la explicación del ejercicio aquí:

Creado por Juan Beltrán (algebra.jcbmat.com) 

Ejercicios

Luego de estudiar los dos ejemplos anteriores, intenta resolver por tu cuenta los siguientes ejercicios de agrupación de términos:

1.- Factorizar la siguiente expresión

Una vez que hayas trabajado este ejercicio o si has tenido dudas con su resolución, puedes mirar el siguiente video con la explicación:

Creado por Juan Beltrán (algebra.jcbmat.com) 

2.- Factorizar la siguiente expresión

Una vez que hayas trabajado este ejercicio o si has tenido dudas con su resolución, puedes mirar el siguiente video con la explicación:

Creado por Juan Beltrán (algebra.jcbmat.com) 

Fin de la explicación

COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS Y LOS EJERCICIOS  RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%

(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)

ASIGNACIÓN (VALOR: 20%)

A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.

Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:

• Año académico.
• Sección.
• Nombre y Apellido del estudiante.
• Número de la asignación (#3). (o Cuaderno #3)
• Fecha de entrega.

Ejercicios:

A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación.

Factorizar las siguientes expresiones, aplicando la estrategia que aplique de acuerdo a cada  caso:

CONDICIONES DE EVALUACIÓN

Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.

Rúbrica de Evaluación

Aspecto	Desarrollo del ejercicio	Comprobación	Resultado Correcto	Total
Descripción	El estudiante desarrolla completamente cada ejercicio aplicando los pasos mostrados en la explicación de cada caso	El estudiante comprueba el resultado de cada ejercicio desarrollado	La respuesta de cada ejercicio está correcta	Sumatoria de todos los elementos
Valor	8	4	8	20

Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el  cuaderno"

Nuevamente, se han actualizado las indicaciones con el propósito de seguir mejorando las condiciones de envío y evaluación de las tareas.

• Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
• Debe llevar los datos solicitados en la portada.
• La asignación debe ser fotografiada y enviada al docente  únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
• Se recomienda transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
• Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
• Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
• Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
• JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
• Camscanner (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
• Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.

Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:

• Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
• Para la asignación es hasta el 25-26 de mayo (Todo el día)
• Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 28 de mayo (Todo el día)

• IMPORTANTE: Al enviar el correo, deben señalar los datos del estudiante: 
• Nombre y Apellido
• Año y Sección
• Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
• Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del  grupo de estudiantes y por secciones separadas.
• El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación. 
• Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.

Enviar al correo electrónico:

ernestovaquero@gmail.com

Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación. 

RECURSOS ADICIONALES

El tema de la factorización es extenso, y su dominio radica en la práctica, por lo que sugiero al estudiante que en casa se tome un tiempo aparte para practicar estos dos casos, apoyándose en los ejercicios resueltos y explicados que aparecen en las siguientes páginas webs:

• Ejercicios resueltos de Factor Común (Álgebra de Baldor)
• Ejercicios resueltos de Agrupación de Términos (Álgebra de Baldor)

(Estos ejercicios fueron desarrollados en youtube por el profesor Juan Beltrán Beltrán, desde www.algebra.jcbmat.com)

Nota: Puedes revisar allí la biografía de Aurelio Baldor, ilustre matemático al que le debemos el desarrollo de una gran cantidad de conocimientos.

Nota Especial a los Representantes:

Estimados padres y representantes, me dirijo a ustedes para explicarles que  como docente me encuentro en un proceso de autoformación en cuanto al aspecto de la educación a distancia, o como le denominan el los talleres del INDES: "Educación Remota". La incorporación de mejores y más eficientes estrategias en el proceso de enseñanza de los estudiantes pasa por una etapa  de práctica y comprobación que requiere de tiempo (tanto para la adquisición del conocimiento mismo de las técnicas, como para su práctica e implementación). Como han visto desde el principio, se han combinado formas de comunicación  asíncronas para la entrega de las clases (el Blog, con apoyo de los videos de terceros, el correo electrónico) con las formas síncronas (consultas directas por Whatsapp y Clases-Chat de Consulta vía Whatsapp). Es importante saber que la filosofía de la "Educación a Distancia" se basa en el concepto de proporcionar al estudiantes los medios para que pueda construir conocimientos, con la ayuda de su docente a través del proceso de retroalimentación  distando de la simple estrategia de brindar "clases en línea" (por ZOOM, Google Meet, etc)  o grabar al docente dando clases y enviarles el video a los estudiantes, esto es, por decirlo así, sólo parte accesoria de la estrategia principal, y su implementación se sujeta a las condiciones logísticas tanto de los participantes como del mismo docente para conducir la actividad (recursos, tiempo, planificación académica, entre otros). Es importante destacar que la tecnología se debe adaptar a las condiciones de acceso tecnológico que posee nuestra comunidad educativa. En este sentido se han venido empleando estrategias de bajo consumo de internet (Blogs, Whatsapp, tareas comprimidas en PDF), considerando la situación venezolana en materia de conectividad.

No obstante, las estrategias para la formación de competencias en matemáticas se refuerzan constantemente. Actualmente se agregaron las notas de audio y los videos (cortos) incorporados en el cuerpo de la explicación, con el propósito de aumentar la cobertura en el acompañamiento (asíncrono) al estudiante mientras lee la clase (escucha y mira videos). También se ha incorporado la figura de la "rúbrica", lo cual les permite prepararse con seguridad certeza para la evaluación. De modo que poco a poco se irán mostrando alternativas didácticas, en las que veamos a los alumnos involucrarse más con actividades que combinen su aprendizaje que estimulen  la motivación a la exploración de nuevos conocimientos; lo que se quiere es que ellos desarrollen las habilidades matemáticas que necesitan para su futuro desempeño académico en posteriores etapas.  Les pido que tengan paciencia y que sigan apoyando a los niños en casa para que continúen adaptándose a este sistema de educación y juntos logremos una exitosa culminación del año escolar. Es muy probable que para el próximo año implemente el uso del aula virtual (en Google Classroom) para organizar las actividades académicas de los estudiantes, sin dejar de lado todo lo desarrollado hasta el momento.

¡Hasta la siguiente entrada!

¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!

M.Sc. Ernesto Vaquero

Matemáticas UEP Kalil Gibrán