PRODUCTOS NOTABLES

Saludos apreciados estudiantes, luego de un gran esfuerzo académico durante el tercer lapso, por fin llegamos a la recta final y hoy reciben su última asignación por el año. Quiero hacer un reconocimiento a todos aquellos estudiantes que han puesto todo su empeño por adaptarse a esta nueva modalidad educativa, pues ahora tienen más habilidades informáticas que hace un par de meses. Actualmente el ritmo de trabajo es más llevable que al inicio, y todo redunda en una formación complementaria de sus estudios de bachillerato. A todos, quiero invitarlos a dar un cierre de actividades con esta cuarta actividad, con el mayor ánimo, pues ya estamos prácticamente frente a la meta. ¡Los felicito por sus esfuerzos!

NOTA: En esta ocasión será necesario que LAS DOS TAREAS sean entregadas en PDF, porque el tiempo de revisión disponible para mí será muy corto, y ahorraré mucho tiempo al corregir documentos PDF. Si aun no sabes cómo hacerlo, al final de la entrada tienes varias recomendaciones para crear un documento PDF. La presentación del documento en PDF se incluye en la rúbrica de evaluación.

PRESENTACIÓN DEL TEMA

Antes de entrar en materia, conviene abordar algunas explicaciones básicas que proporcionarán una idea incial.

¿Qué son los productos notables?

La definición de productos notables es la expresión algebraica que se puede factorizar a simple vista, sin tener que realizar la operación.

Dicho de otra manera se puede decir que son productos cuyo resultado se obtiene sin que se necesite efectuar la multiplicación, solamente con aprender su desarrollo, se llega al resultado. (diccionarioactual.com)

¿Para qué sirven los productos notables?

Los productos notables, sirven para simplificar los cálculos matemáticos, especialmente los aritméticos, donde se involucra la multiplicación de polinomios, que al ser desarrolladas son bastante extensas, sin embargo, debido a su estructura suelen repetirse y pueden desarrollarse mediante un "producto notable". (Brain.ly)

¿En dónde se aplican los productos notables?

La aplicación de los productos notables e pueden observar en los siguientes ámbitos:

* Para resolver operaciones del cálculo mental.
* Sirven para calcular las intensidades de corriente en los circuitos eléctricos.
* Para estimar el número de individuos en un algoritmo genético.
* Tienen uso en todas las área de la ingeniería.

TEORÍA Y EJEMPLOS

El  objetivo de este tema es el siguiente:

• El estudiante estará en capacidad de identificar y resolver 3 casos seleccionados de productos notables.

Existe una variedad de casos de productos notables, a continuación se nombran:

1. Cuadrado de un binomio
2. Producto de binomios conjugados
3. Producto de binomios con un término común
4. Diferencia de cubos
5. Suma de cubos
6. Cubo de un binomio
7. Cuadrado de un trinomio

En esta entrada abordaremos los tres primeros casos, para dar inicio al tema. Estos y el resto de los casos se irán explicando y reforzando a lo largo del 3er, 4to y 5to año.

Caso 1: Cuadrado de un Binomio

El cuadrado de un binomio se expresa de la siguiente manera:

el signo que se observa en el medio de la expresión, se llama "más o menos", y se utiliza para indicar que se presentan dos posibilidades, una con el signo positivo y otra con el signo negativo.

Esto significa que el primer caso debe dividirse en dos:

Cuadrado de la suma y cuadrado de la resta.

Caso 1.1. Cuadrado de un binomio (Suma)

Este caso se presenta cuando se observa una expresión que cumple la siguiente estructura:

Para resolver este caso, se realizan los siguientes pasos:

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio.
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad".
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

Y la expresión completa para resolver este producto notable es:

Veamos un primer ejemplo:

Resolver el siguiente ejercicio, 

Se observa que coincide exactamente con la expresión del caso "cuadrado de un binomio", específicamente de una suma.

Aplicando los pasos señalados anteriormente se resuelve de la siguiente manera:

 

Y allí termina el ejercicio.

Segundo ejemplo.

Resolver el ejercicio siguiente:

Aplicando los pasos indicados, se desarrolla de la siguiente forma:

Allí finaliza el ejercicio.

Acá les dejo un video con la explicación de tres ejemplos más de este caso.

Video tomado de Matemáticas de la U

Caso 1.2. Cuadrado de un binomio (Resta)

Este caso se presenta cuando se observa una expresión que cumple la siguiente estructura:

Para resolver este caso, se realizan los siguientes pasos:

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad".
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

Y la expresión completa para resolver este producto notable es:

Nota: Observa que en este caso la única variación en la estructura del segundo miembro es el signo negativo del segundo término.

Ejemplo 1.

Resolver el siguiente ejercicio, 

Aplicando los pasos señalados anteriormente, se resuelve de la siguiente forma:

Ejemplo 2.

Resolver el siguiente ejercicio, 

Siguiendo las instrucciones, se resuelve así:

Puedes ver el siguiente video con 3 ejemplos más, para refozar las explicaciones.

Video tomado de Matemáticas de la U

Caso 2. Producto de Binomios Conjugados

El producto de binomios conjugados tiene la siguiente expresión:

Es muy probable que te estés preguntando ¿qué significa la palabra "conjugado"?

En las matemáticas, el término "conjugado" o "la conjugada", se refiere a una modificación que se le aplica a un binomio. Esta modificación es muy simple y consiste únicamente en cambiar el signo del segundo término de un binomio.

Por ejemplo:

Ahora podrás comprender por qué el caso se llama "producto de binomios conjugados".

La expresión completa para resolver este producto notable es:

Los pasos para resolver este caso son los siguientes:

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo(*) menos el cuadrado del sustraendo(**)".
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

(*): Minuendo: En una resta, el minuendo es el primer término.

(**): Sustraendo: En una resta el sustraendo es el segundo término, que se resta al primero.

Primer ejemplo.

Resolver el siguiente ejercicio,

Aplicando el procedimiento señalado, se resuelve en forma directa:

Allí termina el ejercicio (Sí, ¡eso es todo!)

Ejemplo 2.

Resolver el siguiente ejercicio, 

Para resolverlo, procedemos de la siguiente manera:

Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis...

Luego, cambiando el orden de los factores...

 

Finalmente, aplicamos las indicaciones del caso:

Para que complementes el caso, puedes mirar los  siguiente video con la explicación de más ejemplos:

Video tomado de Matemáticas de la U

Video tomado de Matemáticas de la U

Caso 3. Producto de Binomios con un Término Común

El producto de binomios con un término común tiene la siguiente expresión:

La expresión completa para resolver este producto notable es:

Los pasos para resolver este caso son los siguientes:

1. El desarrollo del producto da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los binomios (igual en ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos distintos por el término común de los binomios
4. El tercer término será el producto de los términos distintos (cada uno con su respectivo signo)  

Primer ejemplo.

Resolver el siguiente ejercicio,

Aplicando los pasos señalados, se resuelve de la siguiente manera:

Allí finaliza el ejercicio.

Segundo ejemplo.

Resolver el siguiente ejercicio, 

Siguiendo las indicaciones del procedimiento, 

Para que refuerces los conocimientos de este caso , te dejo el siguiente video (que incluye también la explicación del último ejemplo):

Video tomado de Matematicas de la U

Fin de la explicación.

COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%

(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)

Nota: Sólo los ejemplos que están escritos en la entrada, los de refuerzo por video no. 

ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)

A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.

Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:

• Año académico.
• Sección.
• Nombre y Apellido del estudiante.
• Número de la asignación (#4). (o Cuaderno #4)
• Fecha de entrega.

Ejercicios:

A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación:

Resolver cada uno de los ejercicios que se presentan, identificando el caso y cumpliendo los pasos señalados en las explicaciones de esta publicación.

CONDICIONES DE EVALUACIÓN

Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.

Rúbrica de Evaluación

Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el  cuaderno"

• Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
• Debe llevar los datos solicitados en la portada.
• La asignación debe ser fotografiada convertida a formato PDF y enviada al docente  únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
• Se deben transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
• Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
• Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
• Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
• JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
• Camscanner (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
• Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.

Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:

• Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
• Para la asignación es hasta el 15 de junio (Todo el día)
• Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 16 de junio (Todo el día)
• Esta vez se han estrechado los lapsos de recepción para iniciar de inmediato con la corrección, ya que las notas se entregarán a la coordinación de evaluación la semana que sigue.

• IMPORTANTE: Al enviar los 2 correos, deben señalar los datos del estudiante: 
• Nombre y Apellido
• Año y Sección
• Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
• Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del  grupo de estudiantes y por secciones separadas.
• El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación. 
• Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.

Enviar al correo electrónico:

ernestovaquero@gmail.com

Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación. 

RECURSOS ADICIONALES

En los sigueintes enlaces podrás encontrar muchos ejercicios resueltos sobre cada uno de los casos mostrados en esta entrada:

• Cuadrado de un binomio (suma): Aquí
• Cuadrado de un binomio (resta): Aquí
• Producto de binomios conjugados: Aquí
• Producto de binomios con un término en común: Aquí

Esto es todo por el tema de productos notables.

¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!

M.Sc. Ernesto Vaquero

Matemáticas UEP Kalil Gibrán